1.3阻抗与滤波器

好，这节课我们将要介绍阻抗与滤波器

利用电阻电容电感的特性方程

可以分析电路的动态特性

即任一瞬间电路的电压电流情况

本节我们将换一种分析方法

从阻抗的角度来看待

电阻，电容和电感这三种电子元件

这将有助于我们分析

电路中滤波器是如何工作的

元件的阻抗

它位于教材的2.3.1节

电路中如果只有电阻元件

我们可以很容易地通过欧姆定律

得到各个电阻上的电压

而电容和电感在电路中的作用

可以看成是容抗和感抗

它们统称为阻抗

与电阻一样

具有相同的量纲欧姆

电阻的阻抗就是 R 本身

与电信号的频率无关

并且电阻上的电流电压是同相位的

这就是电阻

电容的阻抗是与电信号的频率成反比的

它是等于 1/jwC

频率越高，阻抗越小

我们可以理解电容的静态特性

就是隔直通交

与电阻不同的是

使用容抗的时候要考虑

电容上电压电流的相位关系

电容上的电流是超前电压90度的

好，我们看电感

电感的阻抗与电信号的频率成正比

电感的阻抗是 jwL

显然频率越高，阻抗是越大的

电感上电压是超前电流90度的

我们经常会记错

电容和电感上

电压和电流的超前滞后关系

希望大家不要去死记硬背

理解

怎么理解呢？

电容是对电压起阻碍作用的元件

我们常说电容两端电压是不能突变的

所以电容上的电流是超前电压的

我们再看电感

电感是对电流起阻碍作用的元件

我们常说电感当中的电流是不能突变的

所以电感上的电压是超前电流的

阻抗的经典例题

如图所示

问中点处电压的值等于多少

那么，图中我们可以看出来

电容的阻抗和电阻的阻抗都是1欧姆

这就意味着

不需要指明信号的频率了

那么 V 等于多少呢

很多人会毫不思索的就回答

0.5V

实际上不是

正确答案是0.707

因为它是一个向量关系

正确的解答方式应该是

j/(1+j)

取模

反映的就是输出与输入的关系

1/√2

也就是0.707

滤波器原理

它位于教材的2.3.2节

正是由于电容和电感的阻抗与频率有关

才使得电路中有了滤波器

搭配电阻电容和电感的这三种元件

可以实现低通高通带通等滤波功能

根据数学表达式

电容和电感的特性是对称的

但是实际电感元件的成本远高于电容

所以多数情况下

我们只用电阻和电容来制作滤波器

本节我们也只讨论RC滤波器的情况

先看低通滤波器

根据阻抗分压原理

我们可以求出 uO 的表达式

它实际上就是电容与电阻

对 uI 的分压

我们用阻抗的表达式把它写出来

可以很清楚的看出来

输出电压是随着频率的增加而减小的

所以图示电路实际上是一个低通滤波器

低通滤波器的向量图

对于阻抗

我们用向量图来分析

输入输出的相位及幅值关系

是非常方便的

所以这里面希望大家跟着我一块呢

把这个向量图的画法学习一下

在电路原理图中

我们先标定电压的正方向

然后呢？

我们画出电阻上电压 uR

那这就是我们参考向量

长度是电阻电压的幅值

而箭头的方向是任意的

既然是参考方向

我们暂定3点方向

电阻电压的方向同时也是电流方向

我们知道电阻上电压和电流是同相位的

而 RC 串联回路当中

电流方向也是一致的

再画出电容电压 uC

也就是我们输出电压的方向

注意电容电压的箭头

尾部与电阻电压箭头的头部相连

并且滞后90度

我们知道，对于电容来说

电压不能突变

所以电容上的电压是滞后电流90度的

我们朝六点钟方向

然后我们再画出输入电压 uI

注意它们的方向

输入电压 uI 的箭头

是与 uO 的箭头相连

它的箭尾是与 uI 的箭尾相连

所以我们连接起来

这就是 uI

这就构成了一个叫做电压三角形

也是阻抗三角形的一个分析模型

好，通过这个模型

我们可以看出来

输入电压 uI

它是介于三点到六点之间

而输出电压是六点钟方向

所以我们看出来

输入电压是超前于输出电压的

超前多少呢 φ角

好，这个φ角怎么计算呢？

也很简单

这个直角三角形当中

φ角其实就是

ZR/ZC

取模之后再取 arctan 就可以算出来

好，通过这样一个电压三角形的模型

我们可以清楚的看到输入电压

与输出电压的相位关系以及幅值关系

低通截止频率fH

当信号角频率为截止频率 1/RC 时

我们的阻抗表达式

可以有一个变换

这部分就会变成常数

所以我们可以求解出来

输入和输出幅值上是一个1/√2的关系

而相位当中 tan 角度是1

所以这个低通截止频率

能够使幅值衰减到0.707

而且相位是一个45度差

好，我们看一下仿真波形

将信号频率 uI 设定为159 HZ /1 Vpp 的正弦波

这个159 HZ 就正好是我们的截止频率

瞬时时间设为98 ms 到108 ms 之间

我们先来看输出电压与输出电流的关系

输出电流，输出电压。

实际上呢

这个输出电流和输出电压

就是电容上的电压和电流关系

我们可以看出来

电容上的电流是超前电压90度的

然后我们再看

输出电压与输入电压的关系

通过标识我们可以很清楚地看到

输出电压是滞后于输入电压45度的

而输出电压的幅值

正好也是等于输入电压幅值的0.707

这就是我们的截止频率

我们再看高通滤波器

根据阻抗分压原理

我们可以求出输出电压的表达式

输出电压实际上是电阻电容对 uI 的分压

只不过分子当中是电阻

通过这个表达式，我们可以看出来

输出电压的幅值是会随着频率的增大而增大的

所以这个电路就是个高通滤波器

高通滤波器的向量图

我们在低通滤波器里也画过

我们再练习一下

首先,先把电路当中的电压的正方向标定好

然后，我们先画电阻上的电压 uR

也就是我们的输出电压 uO

长度就是电阻上电压的幅值

箭头方向就是我们的参考方向

暂定三点方向

好，我们再画出电流的方向

实际上电阻当中电压和电流是同方向的

再画出电容电压UC的方向

我们知道电容上电压是不能突变的

所以呢它是滞后电流90度的

所以呢为六点钟方向

但是它的箭头首尾大家要注意

怎么来看呢？

电容上电压的箭头应该

与电阻上电压箭头的尾部相连

所以我们是从这画的

并不是从这来的

好，这是电阻上，电容上电压的方向

最后我们来画出输入电压 uI

uI 尾部与电容电压的尾部相连

首部与电阻上电压的首部相连

那么我们就得到 uI 的矢量方向

好，同样的构成这么一个电压三角形

我们来看

输入电压 uI 的方向在三点和六点之间

而输出电压呢在三点钟方向

所以我们看出来输出电压是超前于输入电压的

这个角度怎么算的？

也是用 ZC 比上 ZR 取 arctan 就可以了

好，我们再看高通截止频率

当信号角频率为截止频率 1/RC 时

我们的表达式当中的 jwCR 就可以进行化简

得出输入输出电压的幅值关系

满足根号二分之一

相位呢？满足 arctan 1，也就是45度了

所以高峰截止频率仍然是会让幅值衰减到0.707

相位有45度

同样我们用仿真看一下。

这里我们只观察输入输出电压的波形

输出电压，输入电压用标识我们可以看出来

输出电压显然是超前输入电压的

正好45度。

那么，它的幅值呢？

输出电压，输入电压正好满足一个0.707的关系

好本课小结

元件的阻抗

一定注意理解记忆电容电感当中电压电流关系

电容是对电压起阻碍作用的元件

所以电容当中的电流是超前电压的

而电感是对电流起阻碍作用的元件

所以电感当中的电压是超前电流的

对于低通滤波器的推导很简单

我们用阻抗的形式

可以看出，随着频率增大

我们输出有一个减小的过程

所以这是一个低通

低通滤波器的相量图分析

可以非常直观的看出

我们的输出电压是滞后输入电压的

对于高通滤波器

同样用阻抗的方程我们可以表示出来

随着频率的增大，输出电压会增大

所以是个高通滤波器

高通滤波器的向量图

一样的我们可以分析出来

输出电压是超前于输入电压的

超前多少度呢？

直接在电压三角形里面也可以求解出来

非常简单直观

对于截止频率

低通的截止频率

我们仿真可以得到

输出信号落后于输入信号45度

衰减了0.707

而对于高速滤波器输出信号是超前45度

衰减0.707的

好，这节课就到这里

好，这节课我们将要介绍阻抗与滤波器

利用电阻电容电感的特性方程

可以分析电路的动态特性

即任一瞬间电路的电压电流情况

本节我们将换一种分析方法

从阻抗的角度来看待

电阻，电容和电感这三种电子元件

这将有助于我们分析

电路中滤波器是如何工作的

元件的阻抗

它位于教材的2.3.1节

电路中如果只有电阻元件

我们可以很容易地通过欧姆定律

得到各个电阻上的电压

而电容和电感在电路中的作用

可以看成是容抗和感抗

它们统称为阻抗

与电阻一样

具有相同的量纲欧姆

电阻的阻抗就是 R 本身

与电信号的频率无关

并且电阻上的电流电压是同相位的

这就是电阻

电容的阻抗是与电信号的频率成反比的

它是等于 1/jwC

频率越高，阻抗越小

我们可以理解电容的静态特性

就是隔直通交

与电阻不同的是

使用容抗的时候要考虑

电容上电压电流的相位关系

电容上的电流是超前电压90度的

好，我们看电感

电感的阻抗与电信号的频率成正比

电感的阻抗是 jwL

显然频率越高，阻抗是越大的

电感上电压是超前电流90度的

我们经常会记错

电容和电感上

电压和电流的超前滞后关系

希望大家不要去死记硬背

理解

怎么理解呢？

电容是对电压起阻碍作用的元件

我们常说电容两端电压是不能突变的

所以电容上的电流是超前电压的

我们再看电感

电感是对电流起阻碍作用的元件

我们常说电感当中的电流是不能突变的

所以电感上的电压是超前电流的

阻抗的经典例题

如图所示

问中点处电压的值等于多少

那么，图中我们可以看出来

电容的阻抗和电阻的阻抗都是1欧姆

这就意味着

不需要指明信号的频率了

那么 V 等于多少呢

很多人会毫不思索的就回答

0.5V

实际上不是

正确答案是0.707

因为它是一个向量关系

正确的解答方式应该是

j/(1+j)

取模

反映的就是输出与输入的关系

1/√2

也就是0.707

滤波器原理

它位于教材的2.3.2节

正是由于电容和电感的阻抗与频率有关

才使得电路中有了滤波器

搭配电阻电容和电感的这三种元件

可以实现低通高通带通等滤波功能

根据数学表达式

电容和电感的特性是对称的

但是实际电感元件的成本远高于电容

所以多数情况下

我们只用电阻和电容来制作滤波器

本节我们也只讨论RC滤波器的情况

先看低通滤波器

根据阻抗分压原理

我们可以求出 uO 的表达式

它实际上就是电容与电阻

对 uI 的分压

我们用阻抗的表达式把它写出来

可以很清楚的看出来

输出电压是随着频率的增加而减小的

所以图示电路实际上是一个低通滤波器

低通滤波器的向量图

对于阻抗

我们用向量图来分析

输入输出的相位及幅值关系

是非常方便的

所以这里面希望大家跟着我一块呢

把这个向量图的画法学习一下

在电路原理图中

我们先标定电压的正方向

然后呢？

我们画出电阻上电压 uR

那这就是我们参考向量

长度是电阻电压的幅值

而箭头的方向是任意的

既然是参考方向

我们暂定3点方向

电阻电压的方向同时也是电流方向

我们知道电阻上电压和电流是同相位的

而 RC 串联回路当中

电流方向也是一致的

再画出电容电压 uC

也就是我们输出电压的方向

注意电容电压的箭头

尾部与电阻电压箭头的头部相连

并且滞后90度

我们知道，对于电容来说

电压不能突变

所以电容上的电压是滞后电流90度的

我们朝六点钟方向

然后我们再画出输入电压 uI

注意它们的方向

输入电压 uI 的箭头

是与 uO 的箭头相连

它的箭尾是与 uI 的箭尾相连

所以我们连接起来

这就是 uI

这就构成了一个叫做电压三角形

也是阻抗三角形的一个分析模型

好，通过这个模型

我们可以看出来

输入电压 uI

它是介于三点到六点之间

而输出电压是六点钟方向

所以我们看出来

输入电压是超前于输出电压的

超前多少呢 φ角

好，这个φ角怎么计算呢？

也很简单

这个直角三角形当中

φ角其实就是

ZR/ZC

取模之后再取 arctan 就可以算出来

好，通过这样一个电压三角形的模型

我们可以清楚的看到输入电压

与输出电压的相位关系以及幅值关系

低通截止频率fH

当信号角频率为截止频率 1/RC 时

我们的阻抗表达式

可以有一个变换

这部分就会变成常数

所以我们可以求解出来

输入和输出幅值上是一个1/√2的关系

而相位当中 tan 角度是1

所以这个低通截止频率

能够使幅值衰减到0.707

而且相位是一个45度差

好，我们看一下仿真波形

将信号频率 uI 设定为159 HZ /1 Vpp 的正弦波

这个159 HZ 就正好是我们的截止频率

瞬时时间设为98 ms 到108 ms 之间

我们先来看输出电压与输出电流的关系

输出电流，输出电压。

实际上呢

这个输出电流和输出电压

就是电容上的电压和电流关系

我们可以看出来

电容上的电流是超前电压90度的

然后我们再看

输出电压与输入电压的关系

通过标识我们可以很清楚地看到

输出电压是滞后于输入电压45度的

而输出电压的幅值

正好也是等于输入电压幅值的0.707

这就是我们的截止频率

我们再看高通滤波器

根据阻抗分压原理

我们可以求出输出电压的表达式

输出电压实际上是电阻电容对 uI 的分压

只不过分子当中是电阻

通过这个表达式，我们可以看出来

输出电压的幅值是会随着频率的增大而增大的

所以这个电路就是个高通滤波器

高通滤波器的向量图

我们在低通滤波器里也画过

我们再练习一下

首先,先把电路当中的电压的正方向标定好

然后，我们先画电阻上的电压 uR

也就是我们的输出电压 uO

长度就是电阻上电压的幅值

箭头方向就是我们的参考方向

暂定三点方向

好，我们再画出电流的方向

实际上电阻当中电压和电流是同方向的

再画出电容电压UC的方向

我们知道电容上电压是不能突变的

所以呢它是滞后电流90度的

所以呢为六点钟方向

但是它的箭头首尾大家要注意

怎么来看呢？

电容上电压的箭头应该

与电阻上电压箭头的尾部相连

所以我们是从这画的

并不是从这来的

好，这是电阻上，电容上电压的方向

最后我们来画出输入电压 uI

uI 尾部与电容电压的尾部相连

首部与电阻上电压的首部相连

那么我们就得到 uI 的矢量方向

好，同样的构成这么一个电压三角形

我们来看

输入电压 uI 的方向在三点和六点之间

而输出电压呢在三点钟方向

所以我们看出来输出电压是超前于输入电压的

这个角度怎么算的？

也是用 ZC 比上 ZR 取 arctan 就可以了

好，我们再看高通截止频率

当信号角频率为截止频率 1/RC 时

我们的表达式当中的 jwCR 就可以进行化简

得出输入输出电压的幅值关系

满足根号二分之一

相位呢？满足 arctan 1，也就是45度了

所以高峰截止频率仍然是会让幅值衰减到0.707

相位有45度

同样我们用仿真看一下。

这里我们只观察输入输出电压的波形

输出电压，输入电压用标识我们可以看出来

输出电压显然是超前输入电压的

正好45度。

那么，它的幅值呢？

输出电压，输入电压正好满足一个0.707的关系

好本课小结

元件的阻抗

一定注意理解记忆电容电感当中电压电流关系

电容是对电压起阻碍作用的元件

所以电容当中的电流是超前电压的

而电感是对电流起阻碍作用的元件

所以电感当中的电压是超前电流的

对于低通滤波器的推导很简单

我们用阻抗的形式

可以看出，随着频率增大

我们输出有一个减小的过程

所以这是一个低通

低通滤波器的相量图分析

可以非常直观的看出

我们的输出电压是滞后输入电压的

对于高通滤波器

同样用阻抗的方程我们可以表示出来

随着频率的增大，输出电压会增大

所以是个高通滤波器

高通滤波器的向量图

一样的我们可以分析出来

输出电压是超前于输入电压的

超前多少度呢？

直接在电压三角形里面也可以求解出来

非常简单直观

对于截止频率

低通的截止频率

我们仿真可以得到

输出信号落后于输入信号45度

衰减了0.707

而对于高速滤波器输出信号是超前45度

衰减0.707的

好，这节课就到这里